Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Étape 3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

Étape 3.5

Associez $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ et $x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Étape 3.6.2

Divisez $e^{2 x} x$ par $1$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

Étape 7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

Étape 8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Étape 12

Réécrivez $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ comme $4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Étape 14

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 (- \frac{x e^{2 x}}{2}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ dans le numérateur.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 4 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (2) \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 \cdot 2 \frac{- x e^{2 x}}{2} + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (x^{2} e^{2 x}) + 2 (- x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Étape 14.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 (x^{2} e^{2 x}) - 2 (x e^{2 x}) + e^{2 x} + C$

Étape 14.3

Supprimez les parenthèses.

$2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + C$