Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Étape 2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ .

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Étape 7

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Étape 8

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Étape 12.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Étape 12.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$