Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{12 x - x^{2}}} d x$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $12 x - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 - x^{2}}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 + x (- x)}} d x$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 12 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (12 - x)}} d x$

Étape 2

Complétez le carré.

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 12 + x (- x)$

Étape 2.1.2

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$12 \cdot x + x (- x)$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \cdot x - x \cdot x$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$12 x - (x \cdot x)$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x - x^{2}$

Étape 2.1.5

Remettez dans l’ordre $12 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 12 x$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$d = - 6$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Étape 2.5.2.1.3

Divisez $144$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$e = 36$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 6)}^{2} + 36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 6)}^{2} + 36}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x - 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 3.1.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 36}} d u$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 6^{2}}} d u$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{6})$

$\arcsin (\frac{u}{6}) + C$

Étape 6

Réécrivez $\arcsin (\frac{u}{6}) + C$ comme $\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} (x - 6)) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\arcsin (\frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 (- 1))) + C$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot - 1)) + C$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (\frac{x}{6} - 1) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arcsin (\frac{1}{6} x - 1) + C$