Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ est positif.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.3

Associez $3$ et $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.5

Associez $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ par $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Étape 2.2.3.8

Multipliez $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ par $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Étape 2.2.3.9

Multipliez $3$ par $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Étape 2.2.3.10

Multipliez $4$ par $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.11

Annulez le facteur commun à $48$ et $108$ .

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Étape 2.2.3.11.1

Factorisez $12$ à partir de $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.11.2.1

Factorisez $12$ à partir de $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.12

Annulez le facteur commun à $\sec (t)$ et $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 2.2.3.12.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.12.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Étape 2.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.13

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 2.2.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.3.13.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{4}{9}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{4}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 4.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Étape 4.3

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$