Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(36 - 9 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{1}{{(36 - 9 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 x^{2})}^{3}}} d x$

Étape 3

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.2

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.3

Factorisez $36$ à partir de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.6

Appliquez la règle de produit à $36 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{36^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.7

Élevez $36$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.8

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 4.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.9

Réécrivez $46656 \cos^{6} (t)$ comme ${(216 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(216 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{216 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2 \cos (t)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2 \cos (t)$ à partir de $216 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{108 \cos^{2} (t)} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{108}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{108}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{108} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ à $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{108} \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$\frac{1}{108} (\tan (t) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{108} \tan (t) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$