Calcul infinitésimal Exemples

$\int (4 x^{3} - 12 x) {(x^{4} - 6 x^{2})}^{- 3} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{4} - 6 x^{2}$ . Alors $d u = (4 x^{3} - 12 x) d x$ , donc $\frac{1}{4 x^{3} - 12 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{4} - 6 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{4} - 6 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{- 3} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Étape 3

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Étape 3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Étape 3.2

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} - 6 x^{2})}^{2}} + C$