Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Multipliez par $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ comme ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Étape 1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int x (x - 1) d x$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Étape 1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Étape 1.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Étape 1.8

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$