Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Étape 2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3} - 4 y$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Étape 2.1.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Étape 2.1.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Étape 2.1.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Étape 2.1.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Étape 2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Étape 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Étape 2.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.7

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.1.2

Divisez $A ((y + 2) (y - 2))$ par $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.2

Développez $(y + 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.3

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 2.1.8.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot - 2$ et $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.3.2

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.3.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.4.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.7

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 2.1.8.7.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.7.2

Divisez $(B) (y (y - 2))$ par $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.9

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.10

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.11

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.13

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 2.1.8.13.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Étape 2.1.8.13.2

Divisez $(C) (y (y + 2))$ par $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Étape 2.1.8.14

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Étape 2.1.8.15

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Étape 2.1.8.16

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Étape 2.1.8.17

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Étape 2.1.8.18

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Étape 2.1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.9.1

Déplacez $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Étape 2.1.9.2

Déplacez $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Étape 2.1.9.3

Déplacez $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Étape 2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B + C$

Étape 2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 4 A$

Étape 2.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Étape 2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 4 A$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- \frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B + C$ par $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ .

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.3.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Étape 2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{4} - C$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = - 2 B + 2 C$ par $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.4.2.1

Simplifiez $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

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Étape 2.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.1.4

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.4.2.1.2

Additionnez $2 C$ et $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5

Résolvez $C$ dans $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ .

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3

Divisez chaque terme dans $4 C = \frac{1}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 C = \frac{1}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.3.5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.5.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $\frac{1}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = \frac{1}{4} - C$ par $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.6.2.1

Simplifiez $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

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Étape 2.3.6.2.1.1

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6.2.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.6.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.6.2.1.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Étape 2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5.5

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Étape 2.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Étape 2.5.7

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 8

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 8.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = y - 2$ . Puis $d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = y - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 11.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\ln (| y |)$ et $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Étape 15.5

Développez $(y + 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Étape 15.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Étape 15.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.6

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 15.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot - 2$ et $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.6.2

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.6.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.7.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Étape 15.7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.9

Pour écrire $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.10.1

Multipliez $\frac{\ln (| y |)}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.10.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Étape 15.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Étape 15.12

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 15.12.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Étape 15.12.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Étape 15.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$