Calcul infinitésimal Exemples

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{2} (x - 5) d x$

Étape 1

Multipliez $- 0.2 x^{2} (x - 5)$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{2} x - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 (x^{1} x^{2}) - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{1 + 2} - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Étape 2.4

Multipliez $- 5$ par $- 0.2$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Étape 2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} + x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} d x + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Étape 4

Comme $- 0.2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 0.2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- 0.2 \int_{0}^{4.1} x^{3} d x + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4.1}) + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4.1})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4.1})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $4.1$ et sur $0$ .

$2 (- 0.2 ((\frac{{4.1}^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4.1})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4.1$ et sur $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{{4.1}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $4.1$ à la puissance $4$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 8.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0}{1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - 0) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} + 0) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $\frac{282.5761}{4}$ et $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.6

Associez $- 0.2$ et $\frac{282.5761}{4}$ .

$2 (\frac{- 0.2 \cdot 282.5761}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $- 0.2$ par $282.5761$ .

$2 (\frac{- 56.51522}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.9

Élevez $4.1$ à la puissance $3$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 8.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 8.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - 0)$

Étape 8.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} + 0)$

Étape 8.2.3.13

Additionnez $\frac{68.921}{3}$ et $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3})$

Étape 8.2.3.14

Pour écrire $- \frac{56.51522}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{68.921}{3})$

Étape 8.2.3.15

Pour écrire $\frac{68.921}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 8.2.3.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.16.1

Multipliez $\frac{56.51522}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 8.2.3.16.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 8.2.3.16.3

Multipliez $\frac{68.921}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921 \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Étape 8.2.3.16.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921 \cdot 4}{12})$

Étape 8.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 56.51522 \cdot 3 + 68.921 \cdot 4}{12}$

Étape 8.2.3.18

Multipliez $- 56.51522$ par $3$ .

$2 \frac{- 169.54566 + 68.921 \cdot 4}{12}$

Étape 8.2.3.19

Multipliez $68.921$ par $4$ .

$2 \frac{- 169.54566 + 275.684}{12}$

Étape 8.2.3.20

Additionnez $- 169.54566$ et $275.684$ .

$2 (\frac{106.13834}{12})$

Étape 8.2.3.21

Associez $2$ et $\frac{106.13834}{12}$ .

$\frac{2 \cdot 106.13834}{12}$

Étape 8.2.3.22

Multipliez $2$ par $106.13834$ .

$\frac{212.27668}{12}$

Étape 9

Divisez $212.27668$ par $12$ .

$17.68972\overline{3}$

Étape 10