Calcul infinitésimal Exemples

$2 p k \int_{0}^{1} (5 x - x^{2}) x^{3} d x$

Étape 1

Développez $(5 x - x^{2}) x^{3}$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x \cdot x^{3} - x^{2} x^{3} d x$

Étape 1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 (x^{1} x^{3}) - x^{2} x^{3} d x$

Étape 1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{1 + 3} - x^{2} x^{3} d x$

Étape 1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2} x^{3} d x$

Étape 1.5

Factorisez le signe négatif.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - (x^{2} x^{3}) d x$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2 + 3} d x$

Étape 1.7

Additionnez $2$ et $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{5} d x$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $5 x^{4}$ et $- x^{5}$ .

$2 p k \int_{0}^{1} - x^{5} + 5 x^{4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 p k (\int_{0}^{1} - x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 p k (- \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{6}}{6}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 p k (- ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 p k (- (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 8.2.3.3.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} + 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $\frac{1}{6}$ et $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Étape 8.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.8.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Étape 8.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Étape 8.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - 0))$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} + 0))$

Étape 8.2.3.10

Additionnez $\frac{1}{5}$ et $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5}))$

Étape 8.2.3.11

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Étape 8.2.3.12

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Étape 8.2.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 1)$

Étape 8.2.3.13

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 p k \frac{- 1 + 6}{6}$

Étape 8.2.3.15

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$2 p k \frac{5}{6}$

Étape 8.2.3.16

Associez $2$ et $\frac{5}{6}$ .

$p k \frac{2 \cdot 5}{6}$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $2$ par $5$ .

$p k \frac{10}{6}$

Étape 8.2.3.18

Associez $p$ et $\frac{10}{6}$ .

$k \frac{p \cdot 10}{6}$

Étape 8.2.3.19

Associez $k$ et $\frac{p \cdot 10}{6}$ .

$\frac{k (p \cdot 10)}{6}$

Étape 8.2.3.20

Déplacez $10$ à gauche de $p$ .

$\frac{k (10 \cdot p)}{6}$

Étape 8.2.3.21

Déplacez $10$ à gauche de $k$ .

$\frac{10 \cdot k p}{6}$

Étape 8.2.3.22

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 8.2.3.22.1

Factorisez $2$ à partir de $10 k p$ .

$\frac{2 (5 k p)}{6}$

Étape 8.2.3.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (5 k p)}{2 (3)}$

Étape 8.2.3.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 k p)}{2 \cdot 3}$

Étape 8.2.3.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 k p}{3}$

$\frac{5}{3} k p$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $k$ .

$\frac{5 k}{3} p$

Étape 9.2

Associez $\frac{5 k}{3}$ et $p$ .

$\frac{5 k p}{3}$

Étape 10