Calcul infinitésimal Exemples

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Étape 1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Étape 2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Étape 3

Multipliez $- 2$ par $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Étape 4

Laissez $u = 25 - y^{2}$ . Alors $d u = - 2 y d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 25 - y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $25$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $25$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 y$

Étape 4.1.4

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Étape 4.3.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Étape 4.5.2

Additionnez $25$ et $0$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 5.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun à $19600$ et $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.1.2.2.4

Divisez $9800$ par $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 9.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Étape 11

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $25$ et sur $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.5

Multipliez $2$ par $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 12.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 12.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 12.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Étape 12.2.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Étape 12.2.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 12.2.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 12.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 12.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 12.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 12.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 12.2.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Étape 12.2.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Étape 12.2.13

Additionnez $\frac{250}{3}$ et $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Étape 12.2.14

Associez $9800$ et $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Étape 12.2.15

Multipliez $9800$ par $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2450000}{3}$

Forme décimale :

$816666.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$816666 \frac{2}{3}$

Étape 14