Calcul infinitésimal Exemples

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} {(6 - y^{2})}^{2} d y$

Étape 1

Développez ${(6 - y^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(6 - y^{2})}^{2}$ comme $(6 - y^{2}) (6 - y^{2})$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} (6 - y^{2}) (6 - y^{2}) d y$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 (6 - y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 6 - y^{2} (- y^{2}) d y$

Étape 1.5

Déplacez $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - y^{2} (- y^{2}) d y$

Étape 1.6

Déplacez $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.8

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + 1 y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.11

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Étape 1.13

Additionnez $2$ et $2$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{4} d y$

Étape 1.14

Soustrayez $6 y^{2}$ de $- 6 y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 12 y^{2} + y^{4} d y$

Étape 1.15

Remettez dans l’ordre $- 12 y^{2}$ et $y^{4}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + y^{4} - 12 y^{2} d y$

Étape 1.16

Déplacez $36$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} - 12 y^{2} + 36 d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$p (\int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$p (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{5}$ et $y^{5}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}}$ et $36 y]_{0}^{\sqrt{6}}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5} + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{y^{5}}{5} + 36 y$ sur $\sqrt{6}$ et sur $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $\sqrt{6}$ et sur $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{5}$ comme $\sqrt{6^{5}}$ .

$p (\frac{\sqrt{6^{5}}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Élevez $6$ à la puissance $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 (0)}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

Multipliez $36$ par $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8

Additionnez $\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6}$ et $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.10

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - 0))$

Étape 9.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} + 0))$

Étape 9.2.3.14

Additionnez $\frac{\sqrt{216}}{3}$ et $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 \frac{\sqrt{216}}{3})$

Étape 9.2.3.15

Associez $- 12$ et $\frac{\sqrt{216}}{3}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 12 \sqrt{216}}{3})$

Étape 9.2.3.16

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \sqrt{216}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3})$

Étape 9.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 (1)})$

Étape 9.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 4 \sqrt{216}}{1})$

Étape 9.2.3.16.2.4

Divisez $- 4 \sqrt{216}$ par $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez $7776$ comme $36^{2} \cdot 6$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $1296$ à partir de $7776$ .

$p (\frac{\sqrt{1296 (6)}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez $1296$ comme $36^{2}$ .

$p (\frac{\sqrt{36^{2} \cdot 6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Étape 9.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Étape 9.3.3

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{36 (6)})$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Étape 9.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.5

Pour écrire $36 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.6

Associez $36 \sqrt{6}$ et $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + \frac{36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.8

Multipliez $5$ par $36$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.9

Additionnez $36 \sqrt{6}$ et $180 \sqrt{6}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Étape 9.3.10

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6})$

Étape 9.3.11

Pour écrire $- 24 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.3.12

Associez $- 24 \sqrt{6}$ et $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5})$

Étape 9.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p \frac{216 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5}$

Étape 9.3.14

Multipliez $5$ par $- 24$ .

$p \frac{216 \sqrt{6} - 120 \sqrt{6}}{5}$

Étape 9.3.15

Soustrayez $120 \sqrt{6}$ de $216 \sqrt{6}$ .

$p \frac{96 \sqrt{6}}{5}$

Étape 9.3.16

Associez $p$ et $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ .

$\frac{p (96 \sqrt{6})}{5}$

Étape 9.3.17

Déplacez $96$ à gauche de $p$ .

$\frac{96 p \sqrt{6}}{5}$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{96 \sqrt{6}}{5} p$

Étape 10

Associez $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ et $p$ .

$\frac{96 \sqrt{6} p}{5}$

Étape 11