Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos (3 y) - 2 x d x \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1

Évaluez $\int \cos (3 y) - 2 x d x$ .

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Étape 1.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\int \cos (3 y) d x + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$(\cos (3 y) x + C + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$(\cos (3 y) x + C - 2 \int x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(\cos (3 y) x + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez

$(\cos (3 y) x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$(\cos (3 y) x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 1.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Étape 2

Évaluez $\int \sin (2 x) + 2 yd y d x$ .

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Étape 2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (2 x) d x + \int 2 yd y d x)$

Étape 2.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Étape 2.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \frac{\sin (u)}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Étape 2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u + \int 2 yd y d x)$

Étape 2.5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \int 2 yd y d x)$

Étape 2.6

Appliquez la règle de la constante.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + 2 yd y x + C)$

Étape 2.7

Simplifiez

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (u)}{2} + 2 yd y x + C)$

Étape 2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (2 x)}{2} + 2 yd y x + C)$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x + C)$

Étape 3

Simplifiez

$(\cos (3 y) x - x^{2}) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x) + C$