Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{y}{2}) + \frac{1}{2} = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} + \frac{1}{2} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = x - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sin (\frac{y}{2})}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 3.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{y}{2}) = 2 x - 1$

Étape 3.6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{y}{2} = \arcsin (2 x - 1)$

Étape 3.7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Étape 3.8

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Étape 3.8.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (2 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1)$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $\sin (\frac{x}{2}) + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $\sin (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2 \arcsin (2 x - 1))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{2 \arcsin (2 x - 1)}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.1.2

Divisez $\arcsin (2 x - 1)$ par $1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\arcsin (2 x - 1)) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (2 \arcsin (2 x - 1)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (2 x - 1)$