Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ et $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $2 π$ et sur $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6.1.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Étape 6.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Étape 6.1.6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Étape 6.1.6.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.1.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Étape 6.1.6.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Étape 6.1.6.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Étape 6.1.6.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Étape 6.1.6.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Étape 6.1.7

Additionnez $π$ et $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Étape 6.2

Additionnez $- 2 π$ et $0$ .

$- 2 π - π$

Étape 6.3

Soustrayez $π$ de $- 2 π$ .

$- 3 π$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 3 π$

Forme décimale :

$- 9.42477796 \dots$