Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 9.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{4 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$4 (\frac{3}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.8

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.10

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 9.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.10.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 9.3.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 9.3.13

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 9.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 9.3.15

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$6 - 2 (\frac{1}{2})$

Étape 9.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 2}{2}$

Étape 9.3.17

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 9.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 9.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{- 1}{1}$

Étape 9.3.17.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$6 - 1$

Étape 9.3.18

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5$

Étape 10