Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{2} p {(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2} d x$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2}$ comme $4 - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{2} p {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Étape 1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{1} d x$

Étape 1.5

Simplifiez

$\int_{- 2}^{2} p (4 - x^{2}) d x$

Étape 2

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , placez $p$ en dehors de l’intégrale.

$p \int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$p (\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$p (4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$p (4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $4 x$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$p ((4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$p (4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$p (8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$p (8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $8$ et $8$ .

$p (16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 7.2.3.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Étape 7.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$p (16 - (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}))$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p (16 - \frac{8 + 8}{3})$

Étape 7.2.3.10

Additionnez $8$ et $8$ .

$p (16 - \frac{16}{3})$

Étape 7.2.3.11

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$p (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 7.2.3.12

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$p (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p \frac{16 \cdot 3 - 16}{3}$

Étape 7.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.14.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$p \frac{48 - 16}{3}$

Étape 7.2.3.14.2

Soustrayez $16$ de $48$ .

$p \frac{32}{3}$

Étape 7.2.3.15

Associez $p$ et $\frac{32}{3}$ .

$\frac{p \cdot 32}{3}$

Étape 7.2.3.16

Déplacez $32$ à gauche de $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{32}{3} p$

Étape 8

Associez $\frac{32}{3}$ et $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Étape 9