Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 1 - x$ et $d v = e^{- x}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

Étape 2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

Étape 3

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 5.2

Multipliez $\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ par $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $(1 - x) (- e^{- x})$ sur $8$ et sur $1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Étape 7.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 8$ et sur $- 1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.10

Multipliez $0$ par $e^{- 1}$ .

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.11

Additionnez $7 e^{- 8}$ et $0$ .

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Étape 7.3.12

Additionnez $7 e^{- 8}$ et $e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

Étape 8.2

Associez $8$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Forme décimale :

$- 0.36519574 \dots$

Étape 10