Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Étape 1.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $1$ et sur $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Forme décimale :

$0.44948974 \dots$