Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ est positif.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.2

Réorganisez les termes.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\tan (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

Étape 2.2.1.2

Associez $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ et $\sec (t)$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.1.3.1.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

Étape 2.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

Étape 2.2.1.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\tan (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ par $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $125$ par $5$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{625}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{625}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 6

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 7

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (t)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (5 x)$ .

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$