Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{225} 5 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{225} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 \int_{0}^{225} x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{225})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{225})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ sur $225$ et sur $0$ .

$5 ((\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Étape 4.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 4.2.2.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 4.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 4.2.2.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - 0)$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} + 0)$

Étape 4.2.2.8

Additionnez $\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$ et $0$ .

$5 \frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.9

Associez $5$ et $\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{5 (3 \cdot 225^{\frac{4}{3}})}{4}$

Étape 4.2.2.10

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.11

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$\frac{15 \cdot {(15^{2})}^{\frac{4}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.12

Multipliez les exposants dans ${(15^{2})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 4.2.2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \cdot 15^{2 (\frac{4}{3})}}{4}$

Étape 4.2.2.12.2

Multipliez $2 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 4.2.2.12.2.1

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 15^{\frac{2 \cdot 4}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.12.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{15 \cdot 15^{\frac{8}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15^{1 + \frac{8}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.14

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{15^{\frac{3}{3} + \frac{8}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15^{\frac{3 + 8}{3}}}{4}$

Étape 4.2.2.16

Additionnez $3$ et $8$ .

$\frac{15^{\frac{11}{3}}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{15^{\frac{11}{3}}}{4}$

Forme décimale :

$5131.85793376 \dots$

Étape 6