Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x + 1 |$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = | (x + h) + 1 |$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $| x + h + 1 |$ .

$| x + h + 1 |$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - (| x + 1 |)}{h}$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $| x + 1 |$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Étape 5

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Étape 6.2

Comme $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 7

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Étape 8.2

Comme $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 9

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 10