Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $\tan (x + h) \cos (x + h)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Étape 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Étape 4.1

Utilisez la formule de la somme pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $\sin (x)$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $\cos (x)$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.6

Évaluez la limite de $\sin (x)$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 5.1.2.7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.7.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.8.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8.1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8.2

Associez les termes opposés dans $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

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Étape 5.1.2.8.2.1

Additionnez $\sin (x)$ et $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8.2.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\sin (x) \cos (h)$ par rapport à $h$ est $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.2

La dérivée de $\cos (h)$ par rapport à $h$ est $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\cos (x) \sin (h)$ par rapport à $h$ est $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.2

La dérivée de $\sin (h)$ par rapport à $h$ est $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5

Comme $- \sin (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.6

Simplifiez

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Étape 5.3.6.1

Additionnez $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Étape 5.4

Divisez $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Étape 6.2

Placez le terme $\sin (x)$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Étape 6.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Étape 6.4

Placez le terme $\cos (x)$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Étape 6.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Étape 8.1.2

Multipliez $- \sin (x) \cdot 0$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Étape 8.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 8.2

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 9