Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ , $[1, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 9 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(1, 2)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(1, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(1, 2)$ car la dérivée est continue sur $(1, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[1, 2]$ et différentiable sur $(1, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ et différentiable sur $(1, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[1, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{3} + 4$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 4$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 4$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$f (1) = 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[1, 2]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4$

Étape 8.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $24$ de $16$ .

$f (2) = - 8 + 4$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$f (2) = - 4$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 9

Résolvez $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(- 4) - (2)}{(2) - (1)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 4 - 2}{2 - (1)}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - (1)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - 1}$

Étape 9.1.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{1}$

Étape 9.1.3

Divisez $- 6$ par $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = - 6$

Étape 9.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.711668, 1.18903787, 1.77263012$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = - 0.711668$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - 0.711668$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = 1.18903787$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 1.18903787$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$

Étape 12

Il y a une droite tangente sur $x = 1.77263012$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 1.77263012$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 2$

Étape 13