Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 75 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 75 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 75 x$ par rapport à $x$ est $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 75$ par $1$ .

$3 x^{2} - 75 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 75 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 75$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 75$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 75$ .

$3 x^{2} - 75$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 75 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 75 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $75$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 75$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 75$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 75$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{75}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $75$ par $3$ .

$x^{2} = 25$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $5, - 5$ .

$5, - 5$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} - 75$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 - 75$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (- 6) = 108 - 75$

Étape 5.2.2

Soustrayez $75$ de $108$ .

$f' (- 6) = 33$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $33$ .

$33$

Étape 5.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $33$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 5)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 75$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 75$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 75$

Étape 6.2.2

Soustrayez $75$ de $0$ .

$f' (0) = - 75$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 75$ .

$- 75$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 75$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 5, 5)$ .

Diminue sur $(- 5, 5)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 75$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 75$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (6) = 108 - 75$

Étape 7.2.2

Soustrayez $75$ de $108$ .

$f' (6) = 33$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $33$ .

$33$

Étape 7.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $33$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(5, \infty)$ .

Augmente sur $(5, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Diminue sur : $(- 5, 5)$

Étape 9