Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.1.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{1 + e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{0}}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{1}{2}$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = \frac{1}{2}$

Aucune asymptote oblique

Étape 7