Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 x^{2} + 6 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 x^{2} \geq - 6$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} \geq - 6$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} \geq - 6$ par $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 6}{7}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} \geq - \frac{6}{7}$

Étape 1.2.3

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{7 x^{2} + 6} = 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{7 x^{2} + 6}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ comme ${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(7 x^{2} + 6)}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Simplifiez

$7 x^{2} + 6 = 0^{2}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 x^{2} + 6 = 0$

Étape 1.4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} = - 6$

Étape 1.4.3.2

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = - 6$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = - 6$ par $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Étape 1.4.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{7}$

Étape 1.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{6}{7}$

Étape 1.4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$

Étape 1.4.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$ .

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Étape 1.4.3.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{6}{7}}$

Étape 1.4.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{6}{7}}$

Étape 1.4.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{6}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Étape 1.4.3.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Étape 1.4.3.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.3.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 1.4.3.4.5.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 1.4.3.4.5.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 1.4.3.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.3.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 1.4.3.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 1.4.3.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.3.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.3.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.3.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.3.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 1.4.3.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Étape 1.4.3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Étape 1.4.3.4.6.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{42}}{7}$

Étape 1.4.3.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Étape 1.4.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Étape 1.4.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Étape 1.4.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}, - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

Comme le domaine est l’ensemble des nombres réels, $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ est continu sur l’ensemble des nombres réels.

Continu

Étape 3