Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[1, 16]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 16]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ sur $16$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{4}{5}$ et $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.6

Multipliez $4$ par $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Étape 7.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Étape 7.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Étape 7.2.10

Soustrayez $4$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Étape 8

Soustrayez $1$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Étape 9.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Étape 10