Calcul infinitésimal Exemples

$x - 4 \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $x - 4 \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.12

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 3.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 3.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 3.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 3.2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 3.2.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 3.2.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 3.2.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 3.2.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.2.16

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.17

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.18

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 5.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 5.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 5.1.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2.12

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Étape 6.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 2^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = 2^{2}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 7.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 4, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{3}}$

Étape 10.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 11

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = (4) - 4 \sqrt{4}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (4) = 4 - 4 \sqrt{2^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4) = 4 - 4 \cdot 2$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (4) = 4 - 8$

Étape 12.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (4) = - 4$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{0^{3}}$

Étape 14.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{0}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 16