Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - 1)}^{3}$ , $y = x - 1$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

${(x - 1)}^{3} = x - 1$

Étape 1.2

Résolvez ${(x - 1)}^{3} = x - 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

${(x - 1)}^{3} - x = - 1$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Étape 1.2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Étape 1.2.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Étape 1.2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Étape 1.2.1.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = - 1$

Étape 1.2.1.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = - 1$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 0 = 0$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1 + y = x - 1$

Étape 1.2.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

Étape 1.2.6

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.8

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = (0) - 1$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = (0) - 1$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 - 1$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (0) - 1$

Étape 1.3.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = (2) - 1$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = (2) - 1$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 - 1$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (2) - 1$

Étape 1.4.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = (1) - 1$

Étape 1.5.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = (1) - 1$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 - 1$

Étape 1.5.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (1) - 1$

Étape 1.5.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = 0$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

Étape 2

Simplifiez ${(x - 1)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Étape 2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Étape 2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x - \int_{0}^{1} x - 1 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - (x - 1) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x - - 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1 d x$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x + 0$

Étape 4.3.1.2

Additionnez $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$ et $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Étape 4.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Étape 4.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Étape 4.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Étape 4.10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 4.11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 4.11.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 4.11.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 4.11.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.6

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} + 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.11

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.12

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.13

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.13.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.13.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - 1 + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.15

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.17

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.17.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1 - 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.17.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{- 3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.11.2.4.20

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 4.11.2.4.21

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.21.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 4.11.2.4.21.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.11.2.4.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.11.2.4.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 4.11.2.4.21.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 4.11.2.4.22

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 4.11.2.4.23

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 4.11.2.4.24

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 4.11.2.4.25

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.4.25.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Étape 4.11.2.4.25.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{4} + 1$

Étape 4.11.2.4.26

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 4.11.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + 4}{4}$

Étape 4.11.2.4.28

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 5

$A r e a = \int_{1}^{2} x - 1 d x - \int_{1}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{2} x - 1 - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) d x$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 - x^{3} - (- 3 x^{2}) - (3 x) - - 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - (3 x) - - 1$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - - 1$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

$\int_{1}^{2} x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 d x$

Étape 6.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 0$

Étape 6.3.1.2

Additionnez $x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ et $0$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$

Étape 6.3.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

$\int_{1}^{2} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x d x$

Étape 6.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} - x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Étape 6.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x$

Étape 6.12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.13

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.13.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.13.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 6.13.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$- (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.5

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.7.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{15}{4} + 3 \frac{8 - 1}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.11

Soustrayez $1$ de $8$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{7}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12

Associez $3$ et $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.13

Multipliez $3$ par $7$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{21}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{15}{4} + \frac{7}{1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$- \frac{15}{4} + 7 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.15

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.16

Associez $7$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.18

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.18.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{- 15 + 28}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.18.2

Additionnez $- 15$ et $28$ .

$\frac{13}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.20

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.20.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.20.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Étape 6.13.2.4.22

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.13.2.4.23

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.13.2.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13}{4} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 6.13.2.4.25

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.25.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Étape 6.13.2.4.25.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{3}{2})$

Étape 6.13.2.4.26

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Étape 6.13.2.4.27

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 6}{2}$

Étape 6.13.2.4.28

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.28.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Étape 6.13.2.4.28.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 6.13.2.4.28.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 6.13.2.4.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{4} + \frac{- 3}{1}$

Étape 6.13.2.4.28.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{13}{4} - 3$

Étape 6.13.2.4.29

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.13.2.4.30

Associez $- 3$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Étape 6.13.2.4.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13 - 3 \cdot 4}{4}$

Étape 6.13.2.4.32

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.32.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{13 - 12}{4}$

Étape 6.13.2.4.32.2

Soustrayez $12$ de $13$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{4}$

Étape 7.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 8