Calcul infinitésimal Exemples

$x = 24 y^{2} - 8 y^{3}$ , $x = 6 y^{2} - 18 y$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$24 y^{2} - 8 y^{3} = 6 y^{2} - 18 y$

Étape 1.2

Résolvez $24 y^{2} - 8 y^{3} = 6 y^{2} - 18 y$ pour $y$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $6 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$24 y^{2} - 8 y^{3} - 6 y^{2} = - 18 y$

Étape 1.2.1.2

Ajoutez $18 y$ aux deux côtés de l’équation.

$24 y^{2} - 8 y^{3} - 6 y^{2} + 18 y = 0$

Étape 1.2.1.3

Soustrayez $6 y^{2}$ de $24 y^{2}$ .

$- 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 2 y$ à partir de $- 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 2 y$ à partir de $- 8 y^{3}$ .

$- 2 y (4 y^{2}) + 18 y^{2} + 18 y = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 2 y$ à partir de $18 y^{2}$ .

$- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y) + 18 y = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 2 y$ à partir de $18 y$ .

$- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y) - 2 y \cdot - 9 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $- 2 y$ à partir de $- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y)$ .

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y) - 2 y \cdot - 9 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 2 y$ à partir de $- 2 y (4 y^{2} - 9 y) - 2 y (- 9)$ .

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 y$ .

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $3$ plus $- 12$

$- 2 y (4 y^{2} + (3 - 12) y - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (4 y^{2} + 3 y - 12 y - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 2 y ((4 y^{2} + 3 y) - 12 y - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 2 y (y (4 y + 3) - 3 (4 y + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 y + 3$ .

$- 2 y ((4 y + 3) (y - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 y (4 y + 3) (y - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$4 y + 3 = 0$

$y - 3 = 0 + x = 6 y^{2} - 18 y$

Étape 1.2.4

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $4 y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $4 y + 3$ égal à $0$ .

$4 y + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $4 y + 3 = 0$ pour $y$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = - 3$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 y = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 3}{4}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{4}$

Étape 1.2.6

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 y (4 y + 3) (y - 3) = 0$ vraie.

$y = 0, - \frac{3}{4}, 3$

Étape 1.3

Évaluez $x$ quand $y = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $y$ par $0$ .

$x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$

Étape 1.3.2

Remplacez $y$ par $0$ dans $x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 6 \cdot 0^{2} - 18 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 6 \cdot 0 - 18 \cdot 0$

Étape 1.3.2.3.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$x = 0 - 18 \cdot 0$

Étape 1.3.2.3.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$x = 0 + 0$

Étape 1.3.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x$ quand $y = - \frac{3}{4}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $y$ par $- \frac{3}{4}$ .

$x = 6 {(- \frac{3}{4})}^{2} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2

Simplifiez $6 {(- \frac{3}{4})}^{2} - 18 (- \frac{3}{4})$ .

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$x = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$x = 6 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = 6 (1 \frac{3^{2}}{4^{2}}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x = 6 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = 6 \frac{9}{4^{2}} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = 6 (\frac{9}{16}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 (3) \frac{9}{16} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$x = 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (\frac{9}{8}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.7

Associez $3$ et $\frac{9}{8}$ .

$x = \frac{3 \cdot 9}{8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$x = \frac{27}{8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Étape 1.4.2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$x = \frac{27}{8} - 18 (\frac{- 3}{4})$

Étape 1.4.2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$x = \frac{27}{8} + 2 (- 9) \frac{- 3}{4}$

Étape 1.4.2.1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{27}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.1.9.4

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{27}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.1.9.5

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{27}{8} - 9 (\frac{- 3}{2})$

Étape 1.4.2.1.10

Associez $- 9$ et $\frac{- 3}{2}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{- 9 \cdot - 3}{2}$

Étape 1.4.2.1.11

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27}{2}$

Étape 1.4.2.2

Pour écrire $\frac{27}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27 \cdot 4}{8}$

Étape 1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{27 + 27 \cdot 4}{8}$

Étape 1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.5.1

Multipliez $27$ par $4$ .

$x = \frac{27 + 108}{8}$

Étape 1.4.2.5.2

Additionnez $27$ et $108$ .

$x = \frac{135}{8}$

Étape 1.5

Évaluez $x$ quand $y = 3$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $y$ par $3$ .

$x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

Étape 1.5.2

Remplacez $y$ par $3$ dans $x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 6 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3$

Étape 1.5.2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez $6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$ .

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Étape 1.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = 6 \cdot 9 - 18 \cdot 3$

Étape 1.5.2.3.1.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$x = 54 - 18 \cdot 3$

Étape 1.5.2.3.1.3

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$x = 54 - 54$

Étape 1.5.2.3.2

Soustrayez $54$ de $54$ .

$x = 0$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(\frac{135}{8}, - \frac{3}{4})$

$(0, 3)$

$(0, 0)$

$(\frac{135}{8}, - \frac{3}{4})$

$(0, 3)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $24 y^{2}$ et $- 8 y^{3}$ .

$x = - 8 y^{3} + 24 y^{2}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y d y - \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 8 y^{3} + 24 y^{2} d y$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{3}{4}$ et $0$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y - (- 8 y^{3} + 24 y^{2}) d y$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 y^{2} - 18 y - (- 8 y^{3}) - (24 y^{2})$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - (24 y^{2})$

Étape 4.2.3

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - 24 y^{2}$

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - 24 y^{2} d y$

Étape 4.3

Soustrayez $24 y^{2}$ de $6 y^{2}$ .

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} d y$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y^{2} d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.5

Comme $- 18$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 18$ en dehors de l’intégrale.

$- 18 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y^{2} d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 18 (\frac{1}{3} y^{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.8

Comme $- 18$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 18$ en dehors de l’intégrale.

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Étape 4.11

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y^{3} d y$

Étape 4.12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Étape 4.13

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.13.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Étape 4.13.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.13.2.1

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Étape 4.13.2.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Étape 4.13.2.3

Évaluez $\frac{y^{4}}{4}$ sur $0$ et sur $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4

Simplifiez

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Étape 4.13.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 18 (\frac{0}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.13.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- 18 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.2.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 18 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 18 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 18 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.4

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{3}{4})$ .

$- 18 (0 - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 18 (0 - \frac{- {(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 18 (0 - - \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 18 (0 + 1 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.8

Multipliez $\frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}$ par $1$ .

$- 18 (0 + \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.9

Additionnez $0$ et $\frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.2.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.2.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.13

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{3}{4})$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.15

Multipliez ${(\frac{3}{4})}^{2}$ par $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.16

Soustrayez $\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}$ de $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (- \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.17

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{0}{4} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 4.13.2.4.19.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.2.4.19.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.20

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.21

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{3}{4})$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.23

Multipliez ${(\frac{3}{4})}^{4}$ par $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.24

Soustrayez $\frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$ de $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (- \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Étape 4.13.2.4.25

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$3 (- 6) \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 6 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 {(\frac{3}{4})}^{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- 6 \frac{3^{3}}{4^{3}} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 6 \frac{27}{4^{3}} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 6 (\frac{27}{64}) + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.13.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 (- 3) \frac{27}{64} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$2 \cdot - 3 \frac{27}{2 \cdot 32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 3 \frac{27}{2 \cdot 32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{27}{32}) + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.6

Associez $- 3$ et $\frac{27}{32}$ .

$\frac{- 3 \cdot 27}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.7

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$\frac{- 81}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{81}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.13.3.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$- \frac{81}{32} + 2 (9) \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{32} + 2 \cdot 9 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{32} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{81}{32} + 9 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81}{32} + 9 \frac{9}{4^{2}} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.12

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{81}{32} + 9 (\frac{9}{16}) - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.13

Multipliez $9 (\frac{9}{16})$ .

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Étape 4.13.3.1.13.1

Associez $9$ et $\frac{9}{16}$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{9 \cdot 9}{16} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.13.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.13.3.1.14.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 4 (- 2) \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 4 \cdot - 2 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Étape 4.13.3.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{4})}^{4}$

Étape 4.13.3.1.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Étape 4.13.3.1.16

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 \frac{81}{4^{4}}$

Étape 4.13.3.1.17

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 (\frac{81}{256})$

Étape 4.13.3.1.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.13.3.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{81}{256}$

Étape 4.13.3.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{81}{2 \cdot 128}$

Étape 4.13.3.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{81}{2 \cdot 128}$

Étape 4.13.3.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.13.3.2.1

Multipliez $\frac{81}{32}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{32} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.2

Multipliez $\frac{81}{32}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.3

Multipliez $\frac{81}{16}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81}{16} \cdot \frac{8}{8} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.4

Multipliez $\frac{81}{16}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.5

Réorganisez les facteurs de $32 \cdot 4$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 32} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.6

Multipliez $4$ par $32$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.7

Réorganisez les facteurs de $16 \cdot 8$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{8 \cdot 16} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.2.8

Multipliez $8$ par $16$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{128} - \frac{81}{128}$

Étape 4.13.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 81 \cdot 4 + 81 \cdot 8 - 81}{128}$

Étape 4.13.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.3.4.1

Multipliez $- 81$ par $4$ .

$\frac{- 324 + 81 \cdot 8 - 81}{128}$

Étape 4.13.3.4.2

Multipliez $81$ par $8$ .

$\frac{- 324 + 648 - 81}{128}$

Étape 4.13.3.5

Additionnez $- 324$ et $648$ .

$\frac{324 - 81}{128}$

Étape 4.13.3.6

Soustrayez $81$ de $324$ .

$\frac{243}{128}$

Étape 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} d y - \int_{0}^{3} 6 y^{2} - 18 y d y$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $3$ .

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Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} - (6 y^{2} - 18 y) d y$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - (6 y^{2}) - (- 18 y)$

Étape 6.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} - (- 18 y)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 18$ par $- 1$ .

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} + 18 y$

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} + 18 y d y$

Étape 6.3

Soustrayez $6 y^{2}$ de $24 y^{2}$ .

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y d y$

Étape 6.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} d y + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 \int_{0}^{3} y^{3} d y + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.8

Comme $18$ est constant par rapport à $y$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Étape 6.11

Comme $18$ est constant par rapport à $y$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} y d y$

Étape 6.12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.13

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.13.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.1

Évaluez $\frac{y^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- 8 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.13.2.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- 8 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.13.2.3

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- 8 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - 0) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4} + 0) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.5

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.6

Associez $- 8$ et $\frac{81}{4}$ .

$\frac{- 8 \cdot 81}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.7

Multipliez $- 8$ par $81$ .

$\frac{- 648}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8

Annulez le facteur commun à $- 648$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 648$ .

$\frac{4 \cdot - 162}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 162}{4 (1)} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 162}{4 \cdot 1} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 162}{1} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.8.2.4

Divisez $- 162$ par $1$ .

$- 162 + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 162 + 18 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 6.13.2.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 162 + 18 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.10.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{0}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.13.2.4.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.13.2.4.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 162 + 18 (9 - \frac{0}{1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 162 + 18 (9 - 0) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 162 + 18 (9 + 0) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.14

Additionnez $9$ et $0$ .

$- 162 + 18 \cdot 9 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.15

Multipliez $18$ par $9$ .

$- 162 + 162 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.16

Additionnez $- 162$ et $162$ .

$0 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.13.2.4.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 6.13.2.4.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.13.2.4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 6.13.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.13.2.4.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.13.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.13.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 6.13.2.4.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - 0)$

Étape 6.13.2.4.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} + 0)$

Étape 6.13.2.4.21

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2})$

Étape 6.13.2.4.22

Associez $18$ et $\frac{9}{2}$ .

$0 + \frac{18 \cdot 9}{2}$

Étape 6.13.2.4.23

Multipliez $18$ par $9$ .

$0 + \frac{162}{2}$

Étape 6.13.2.4.24

Annulez le facteur commun à $162$ et $2$ .

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Étape 6.13.2.4.24.1

Factorisez $2$ à partir de $162$ .

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2}$

Étape 6.13.2.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.13.2.4.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2 (1)}$

Étape 6.13.2.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1}$

Étape 6.13.2.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{81}{1}$

Étape 6.13.2.4.24.2.4

Divisez $81$ par $1$ .

$0 + 81$

Étape 6.13.2.4.25

Additionnez $0$ et $81$ .

$81$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{243}{128} + 81$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{128}{128}$ .

$\frac{243}{128} + 81 \cdot \frac{128}{128}$

Étape 7.2

Associez $81$ et $\frac{128}{128}$ .

$\frac{243}{128} + \frac{81 \cdot 128}{128}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{243 + 81 \cdot 128}{128}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $81$ par $128$ .

$\frac{243 + 10368}{128}$

Étape 7.4.2

Additionnez $243$ et $10368$ .

$\frac{10611}{128}$

Étape 8