Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par $1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} + y^{2}$ à partir de ${(x^{2} + y^{2})}^{4}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 9

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 14

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 y \frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 16

Associez $2$ et $\frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$y \frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 17

Associez $y$ et $\frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$\frac{y (2 (- 3 x^{2} + y^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2})) + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot - 3 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.3.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 18.3.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{2 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.3.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 y^{3} - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.5

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y^{3} - 6 x^{2} y$ .

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Étape 18.5.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y (y^{2}) - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.5.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 6 x^{2} y$ .

$\frac{2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Étape 18.5.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 y (y^{2} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$