Calcul infinitésimal Exemples

${(5 x)}^{x}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{x}]$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} x^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = x^{x}$ .

$5^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 3

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 3.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$5^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 7.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Étape 9.3

Multipliez $e^{x \ln (x)}$ par $1$ .

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 5^{x} x^{x} \ln (5)$