Calcul infinitésimal Exemples

$2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x))]$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}))]$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + 1})]$

Étape 3.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}})]$

Étape 3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}})]$

Étape 3.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.13

Associez $- 3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 + \frac{- 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$