Calcul infinitésimal Exemples

$1 - {(\frac{10}{x})}^{4}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - {(\frac{10}{x})}^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(\frac{10}{x})}^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(\frac{10}{x})}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{10}{x}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{10}{x}$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 2.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 (- x^{- 2})))$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (- 10 x^{- 2}))$

Étape 2.7

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$0 - (- 40 {(\frac{10}{x})}^{3} x^{- 2})$

Étape 2.8

Multipliez $- 40$ par $- 1$ .

$0 + 40 {(\frac{10}{x})}^{3} x^{- 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 40 {(\frac{10}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{x}$ .

$0 + 40 \frac{10^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$0 + 40 \frac{1000}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez $40$ et $\frac{1000}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{40 \cdot 1000}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Multipliez $40$ par $1000$ .

$0 + \frac{40000}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{40000}{x^{3}}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{40000}{x^{3} x^{2}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{40000}{x^{3 + 2}}$

Étape 3.3.5.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$0 + \frac{40000}{x^{5}}$

Étape 3.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{40000}{x^{5}}$ .

$\frac{40000}{x^{5}}$