Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{924 + 10 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{924 + 10 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [924 + 10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Comme $924$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $924$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 10

Associez $10$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 14

Associez $x$ et $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x \cdot 5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 15

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{5 \cdot x}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 16

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 17.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + 1} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 19

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $924$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Étape 20.2.1.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - 10 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Étape 20.2.2

Soustrayez $10 x^{\frac{1}{2}}$ de $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924}{x^{2}}$

Étape 20.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924$ .

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Étape 20.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 924}{x^{2}}$

Étape 20.3.2

Réécrivez $- 924$ comme $- 1 (924)$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)}{x^{2}}$

Étape 20.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)$ .

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}} + 924)}{x^{2}}$

Étape 20.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{\frac{1}{2}} + 924}{x^{2}}$