Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{9}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$9 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$9 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 2.10

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$- 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.8

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$- 18 x^{- 3} - 21 x^{- 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{3}} - 21 x^{- 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- 18$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 18}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.3.3

Associez $- 21$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{18}{x^{3}} + \frac{- 21}{x^{4}}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{x^{3}} - \frac{21}{x^{4}}$