Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.2.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{5 x} - 1 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3.5

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.6

Additionnez $5 e^{5 x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.1.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.1.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{5 x} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5

Additionnez $25 e^{5 x}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{1}$

Étape 5.4

Divisez $25 e^{5 x}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 25 e^{5 x}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $25$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 lim_{x \to 0} e^{5 x}$

Étape 6.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{lim_{x \to 0} 5 x}$

Étape 6.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 lim_{x \to 0} x}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 \cdot 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} e^{5 \cdot 0}$

Étape 8.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{25}{2} e^{0}$

Étape 8.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $1$ .

$\frac{25}{2}$