Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} \sin (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.4

Multipliez $4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 7.5.4.1

Associez $4$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.4.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.6

Associez $\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.7

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.7.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.7.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.7.3

Réécrivez $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.7.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Étape 7.5.8

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9

Multipliez $8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 7.5.9.1

Associez $8$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9.2

Associez $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ et $x$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 7.5.9.3

Associez $\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 7.5.9.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.2

Séparez les fractions.

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.4

Associez $\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.5

Séparez les fractions.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.7

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.8

Simplifiez

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Étape 7.6.8.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.8.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.9

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.10

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 7.6.11

Séparez les fractions.

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.6.12

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

Étape 7.6.13

Divisez $8 x (\sin (x))$ par $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

Étape 7.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ .

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$