Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 9 x + 9$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez ${(9 x + 9)}^{2}$ et $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.6

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Étape 3.8.2

Associez $\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ et $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Étape 3.8.3

Déplacez $9$ à gauche de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez ${(9 x + 9)}^{2}$ comme $(9 x + 9) (9 x + 9)$ .

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Étape 4.2

Développez $(9 x + 9) (9 x + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Étape 4.3.2

Additionnez $81 x$ et $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez $81$ par $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Étape 4.5.2

Multipliez $162$ par $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Étape 4.5.3

Multipliez $9$ par $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$