Calcul infinitésimal Exemples

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x) \cos (y)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3 \cos (x) \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ par $- 3 \sin (x) \sin (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ par $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Étape 5.3.3.2

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.3.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Étape 5.3.3.4

Convertissez de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ à $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$