Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x = 7 π$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x) = \frac{d}{d x} (7 π)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + 3 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (y)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$2 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 \cos (x) + 3 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x) \cos (y)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)) + 1$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x)) + 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 \cos (x) - 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x) + 1$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$

Étape 3

Comme $7 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x)$ .

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3 \cos (x) \cos (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 1 + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1$

Étape 5.2.3

Soustrayez $2 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Étape 5.3

Factorisez $3 y' \sin (y)$ à partir de $- 3 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 y' \sin (y)$ à partir de $- 3 y' \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y' \sin (y)$ à partir de $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y' \sin (y)$ à partir de $3 y' \sin (y) \cdot - 1 + 3 y' \sin (y) \sin (x)$ .

$3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ par $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x)$ par $3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{3 y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $- 1 + \sin (x)$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.2

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.3

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ comme un produit.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.4

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.5

Simplifiez

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Étape 5.4.3.1.5.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.6

Multipliez $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Étape 5.4.3.1.6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.6.2

Associez $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ et $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.7

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{1}{\sin (y)} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y) + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.10

Associez $\csc (y)$ et $\frac{1}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2 \cos (x)}{3 \sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.11

Séparez les fractions.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.4.3.1.12

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ comme un produit.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.4.3.1.13

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.4.3.1.14

Simplifiez

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Étape 5.4.3.1.14.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.4.3.1.14.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 5.4.3.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 5.4.3.1.16

Multipliez $- \frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Étape 5.4.3.1.16.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))} \csc (y)$

Étape 5.4.3.1.16.2

Associez $\csc (y)$ et $\frac{\cos (x) \cdot 2}{3 (- 1 + \sin (x))}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 2)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.1.17

Déplacez $2$ à gauche de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{(- 1 + \sin (x)) \cdot 3} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 1 + \sin (x)) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{\csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.5.1

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3 - \csc (y)$ .

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Étape 5.4.3.5.1.1

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) \cdot 3$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) - \csc (y)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.5.1.2

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $- \csc (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.5.1.3

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3) + \csc (y) \cdot - 1$ .

$y' = \frac{\csc (y) (\cos (x) \cos (y) \cdot 3 - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x) \cos (y)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1)}{3 (- 1 + \sin (x))} - \frac{2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.3.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.6.2

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) - 2 \csc (y) \cos (x)$ .

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Étape 5.4.3.6.2.1

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $- 2 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.6.2.2

Factorisez $\csc (y)$ à partir de $\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1) + \csc (y) (- 2 \cos (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.6.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) + \sin (x))}$

Étape 5.4.3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}$

Étape 5.4.3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}$

Étape 5.4.3.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (y) (3 \cos (x) \cos (y) - 1 - 2 \cos (x))}{3 (1 - \sin (x))}$