Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} - 2 x^{2} y = 1 + x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - 2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} - 2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y (2 x))$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + 2 y x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y') - 2 (2 y x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 x^{2} y' - 4 y x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x - y^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $4 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Étape 5.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x y y' - 2 x^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$2 x y' y - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x y'$ à partir de $- 2 x^{2} y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' (- x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x y'$ à partir de $2 x y' y + 2 x y' (- x)$ .

$2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ par $2 x (y - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ par $2 x (y - x)$ .

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y - x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{y - x} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x y$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (y - x)$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Étape 5.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $\frac{1}{y - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{1}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - x) \cdot 2 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{y - x}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - x) (2 x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Étape 5.3.3.5

Pour écrire $\frac{2 y}{y - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Étape 5.3.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x (y - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Multipliez $\frac{2 y}{y - x}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{(y - x) (2 x)}$

Étape 5.3.3.6.2

Réorganisez les facteurs de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$