Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{6} x \sqrt{x - 2} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{6} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Étape 4.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Étape 4.5

Soustrayez $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ sur $6$ et sur $2$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $4$ et sur $0$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{6 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{6 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{6 \cdot 16}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.7

Multipliez $6$ par $16$ .

$\frac{96}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $96$ et $3$ .

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Étape 6.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $32$ par $1$ .

$32 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.9

Soustrayez $2$ de $2$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.10

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.14

Multipliez $2$ par $0$ .

$32 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15

Multipliez $2$ par $0$ .

$32 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$32 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$32 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$32 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18

Additionnez $32$ et $0$ .

$32 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.19

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.21.1

Annulez le facteur commun.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.21.2

Réécrivez l’expression.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.22

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.23

Associez $\frac{2}{5}$ et $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.24

Multipliez $2$ par $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.25

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.26

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 6.3.27

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.27.1

Annulez le facteur commun.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 6.3.27.2

Réécrivez l’expression.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.3.28

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Étape 6.3.29

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Étape 6.3.30

Multipliez $0$ par $\frac{2}{5}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0)$

Étape 6.3.31

Additionnez $\frac{64}{5}$ et $0$ .

$32 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64}{5}$

Étape 6.3.32

Multipliez $\frac{64}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$32 - \frac{64 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.33

Multipliez $64$ par $2$ .

$32 - \frac{128}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.34

Multipliez $5$ par $3$ .

$32 - \frac{128}{15}$

Étape 6.3.35

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$32 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Étape 6.3.36

Associez $32$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Étape 6.3.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 \cdot 15 - 128}{15}$

Étape 6.3.38

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.38.1

Multipliez $32$ par $15$ .

$\frac{480 - 128}{15}$

Étape 6.3.38.2

Soustrayez $128$ de $480$ .

$\frac{352}{15}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{352}{15}$

Forme décimale :

$23.4\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$23 \frac{7}{15}$

Étape 8