Calcul infinitésimal Exemples

Trouver la tangente en un point donné à l'aide de la définition de la limite y=5x^3-3x , (1,2)
,
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 2.1.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.3
La réponse finale est .
Étape 2.2
Comme , le point est sur le graphe.
Le point est sur le graphe
Le point est sur le graphe
Étape 3
La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.
La dérivée de
Étape 4
Étudiez la définition de la limite de la dérivée.
Étape 5
Déterminez les composants de la définition.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Évaluez la fonction sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.1.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1.1
Utilisez le théorème du binôme.
Étape 5.1.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.2.1.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.1.3.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2.1.3.2
Multipliez par .
Étape 5.1.2.1.4
Supprimez les parenthèses.
Étape 5.1.2.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.2.2
La réponse finale est .
Étape 5.2
Remettez dans l’ordre.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Déplacez .
Étape 5.2.2
Déplacez .
Étape 5.2.3
Déplacez .
Étape 5.2.4
Déplacez .
Étape 5.2.5
Déplacez .
Étape 5.2.6
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3
Déterminez les composants de la définition.
Étape 6
Insérez les composants.
Étape 7
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.1.2
Multipliez par .
Étape 7.1.3
Multipliez par .
Étape 7.1.4
Soustrayez de .
Étape 7.1.5
Additionnez et .
Étape 7.1.6
Additionnez et .
Étape 7.1.7
Additionnez et .
Étape 7.1.8
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1.8.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.2
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.3
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.4
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.5
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.6
Factorisez à partir de .
Étape 7.1.8.7
Factorisez à partir de .
Étape 7.2
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.2
Divisez par .
Étape 7.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.2.1
Déplacez .
Étape 7.2.2.2
Déplacez .
Étape 7.2.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 8
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 9
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 10
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 11
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 12
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 13
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 14
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 14.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 15
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1.1.1
Multipliez par .
Étape 15.1.1.2
Multipliez par .
Étape 15.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 15.1.3
Multipliez par .
Étape 15.1.4
Multipliez par .
Étape 15.2
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Additionnez et .
Étape 15.2.2
Additionnez et .
Étape 16
Déterminez la pente . Dans ce cas .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 16.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 16.2.1.2
Multipliez par .
Étape 16.2.2
Soustrayez de .
Étape 17
La pente est et le point central est .
Étape 18
Déterminez la valeur de en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.1
Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer .
Étape 18.2
Remplacez la valeur de dans l’équation.
Étape 18.3
Remplacez la valeur de dans l’équation.
Étape 18.4
Remplacez la valeur de dans l’équation.
Étape 18.5
Déterminez la valeur de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 18.5.2
Multipliez par .
Étape 18.5.3
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 18.5.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 18.5.3.2
Soustrayez de .
Étape 19
Maintenant que les valeurs de (pente) et (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans pour déterminer l’équation de la droite.
Étape 20