Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.2.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ sur $x = 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Divisez $e^{1}$ par $1$ .

$f (1) = e$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $e$ .

$e$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ est $y = e$ .

$y = e$

Étape 5