Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3}{4 + 25 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{4 + 25 x^{2}} d x$

Étape 2

Factorisez $25$ à partir de $4 + 25 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $25$ à partir de $4$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Étape 2.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (\frac{4}{25}) + 25 (x^{2})$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25} + x^{2})} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{25}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{25}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{4}{25} + x^{2}} d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{25}$ et $3$ .

$\frac{3}{25} \int \frac{1}{\frac{4}{25} + x^{2}} d x$

Étape 5

Réécrivez $\frac{4}{25}$ comme ${(\frac{2}{5})}^{2}$ .

$\frac{3}{25} \int \frac{1}{{(\frac{2}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{2}{5})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{2}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C$ .

$\frac{3}{25} (\frac{1}{\frac{2}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3}{25} (1 (\frac{5}{2}) \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Étape 7.1.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Étape 7.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (x \frac{5}{2}) + C)$

Étape 7.1.4

Associez $x$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{x \cdot 5}{2}) + C)$

Étape 7.1.5

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{5 \cdot x}{2}) + C)$

Étape 7.1.6

Associez $\frac{5}{2}$ et $\arctan (\frac{5 x}{2})$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{2})}{2} + C)$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{3}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{2})}{2} + C)$ comme $\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$ .

$\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{3}{25}$ par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{25 \cdot 2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15}{25 \cdot 2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.3

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{15}{50} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun à $15$ et $50$ .

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Étape 7.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 (3)}{50} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Étape 7.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$