Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 6.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 6.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 6.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 6.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 6.2.3.14

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3.15

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3.16

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.17.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.3.17.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.3.17.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 6.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Étape 6.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.19.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Étape 6.2.3.19.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$

Étape 8