Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les termes.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.1.4

Réécrivez $\sec^{6} (t)$ comme ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $\sec^{2} (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 3.2.2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$