Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + k e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k e^{x}$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} k + 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $x$ par $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $k e^{x} \cdot 0$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Multipliez $0$ par $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $0$ par $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $k e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x} k$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x} k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.8

Réécrivez $- (e^{x} k + 1)$ comme $- 1 (e^{x} k + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Étape 5.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ .

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$